Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=m（x-4）²+2lnx，其中m∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于（0，6）
（1）求m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)f′（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）列出方程求m的值即可；
（2）由（1）求出的原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把函數(shù)的定義域分段，判斷導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=m（x-4）²+2lnx，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=2m（x-4）+$\frac{2}{x}$，（x＞0），
令x=1，得f（1）=9m，f′（1）=2-6m，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為
y-9m=（2-6m）（x-1），
由切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6），
∴6-9m=6m-2，
∴m=$\frac{8}{15}$；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{8}{15}$（x-4）²+2lnx，（x＞0），
即有f′（x）=$\frac{16}{15}$（x-4）+$\frac{2}{x}$=$\frac{16{x}^{2}-64x+30}{15x}$，
令f′（x）=0，得x=2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$或x=2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$．
當(dāng)0＜x＜2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$或x＞2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$時，f′（x）＞0，
故f（x）的增區(qū)間為（0，2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$），（2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$，+∞）；
當(dāng)2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$＜x＜2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$時，f′（x）＜0，
故f（x）的減區(qū)間為（2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$，2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．