Question

7．在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的三邊，設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosA，-sinA），且$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，設(shè)內(nèi)角B為x，△ABC的周長為y，求y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題知：|$\overrightarrow{m}$|=|$\overrightarrow{n}$|=1，cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=cos²A-sin²A，由此能求出A．
（2）由正弦定理，得b=2sinx，c=2sin（120°-x），（x＜120°），從而y=$\sqrt{3}+2sinx+2sin（120°-x），x＜120°$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出y=f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosA，-sinA），
∴由題知：|$\overrightarrow{m}$|=|$\overrightarrow{n}$|=1，
∵$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{2π}{3}$，
∴cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=cos²A-sin²A，即cos2A=-$\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜2A＜π，
∴2A=$\frac{2π}{3}$，故A=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理，得$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2，
b=2sinx，c=2sin（120°-x），（x＜120°），
∴y=$\sqrt{3}+2sinx+2sin（120°-x），x＜120°$
y′=2cosx-2cos（120°-x），
令y′=2cosx-2cos（120°-x）=0，得x=60°，
∴x=60°時(shí)，y=f（x）取最大值y_max=$\sqrt{3}+2sin60°+2sin60°$=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查角的大小的求法，考查三角形周長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．