Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）對于一切實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求f（0）；
（2）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）若f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式：f（lgx-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，代入計算即可得到f（0）=0；
（2）可令y=-x，結(jié)合f（0）=0，可得f（-x）=-f（x），再由定義域關(guān)于原點對稱，即可得證；
（3）由題意可得f（x）在R上遞增，可得lgx-1＜0，由對數(shù)不等式的解法即可得到所求解集．

解答 解：（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），
即f（0）=0；
（2）證明：令y=-x代入得f（0）=f（x）+f（-x），
由f（0）=0，所以f（x）=-f（-x），
又函數(shù)定義域為R，故f（x）是奇函數(shù)．
（3）因為f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)且f（x）是奇函數(shù)，
所以f（x）在R上是增函數(shù)，
由f（lgx-1）＜0及f（0）=0得
f（lgx-1）＜f（0），
所以lgx-1＜0即lgx＜1，
解得：0＜x＜10，
故解集為：{x|0＜x＜10}．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運用，考查不等式的解法，屬于中檔題．