Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-4|x|-5
（1）畫(huà)出y=f（x）的圖象；
（2）寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若方程f（x）=k+1有兩解．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，畫(huà)出圖象；
（2）通過(guò)圖象可得增區(qū)間和減區(qū)間；
（3）方程f（x）=k+1有兩解，即為函數(shù)y=f（x）與y=k+1的交點(diǎn)有兩個(gè)．通過(guò)圖象觀察可得k+1＞-5，或k+1=-9，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x-5，x≥0}\\{{x}^{2}+4x-5，x＜0}\end{array}\right.$，
函數(shù)y=f（x）的圖象如右：
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-2，0），（2，+∞）；
減區(qū)間為（-∞，-2），（0，2）；
（3）方程f（x）=k+1有兩解，即為
函數(shù)y=f（x）與y=k+1的交點(diǎn)有兩個(gè)．
由圖象可得k+1＞-5，或k+1=-9，
解得k＞-6或k=-10．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-6，+∞）∪{-10}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．