Question

13．求下列函數(shù)的值域．
（1）f（x）=4^x-2^x+1；
（2）f（x）=9^x-3^x+3+20；
（3）y=x-4$\sqrt{x}$+6（1≤x≤25）

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)解析式設(shè)t=2^x且t＞0，代入原函數(shù)化簡(jiǎn)后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域；
（2）由函數(shù)解析式設(shè)t=3^x且t＞0，代入原函數(shù)化簡(jiǎn)后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域；
（3）由函數(shù)解析式設(shè)$t=\sqrt{x}$，由x的范圍求出t的范圍，代入原函數(shù)化簡(jiǎn)后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域．

解答 解：（1）設(shè)t=2^x，則t＞0，
原函數(shù)變?yōu)椋簓=t²-t+1=$（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$，
因?yàn)閠＞0，所以y≥$\frac{3}{4}$，
故函數(shù)f（x）的值域是[$\frac{3}{4}$，+∞）；
（2）由題意得f（x）=（3^x）²-3³•3^x+20，
設(shè)t=3^x，則t＞0，
原函數(shù)變?yōu)椋簓=t²-27t+20=${（t-\frac{27}{2}）}^{2}-\frac{649}{4}$，
因?yàn)閠＞0，所以y≥$-\frac{649}{4}$，
故函數(shù)f（x）的值域是[$-\frac{649}{4}$，+∞）；
（3）設(shè)$t=\sqrt{x}$，由1≤x≤25得1≤t≤5，
原函數(shù)變?yōu)椋簓=t²-4t+6=（t-2）²+2，
因?yàn)?≤t≤5，
所以當(dāng)t=2時(shí)取到最小值2，當(dāng)t=5時(shí)取到最大值11，
則2≤y≤11，
故函數(shù)的值域是[2，11]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用換元法求函數(shù)的值域，考查指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．