Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²-alnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a的值；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≤-$\frac{1}{2}$，a=0，a＞0，當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，解不等式可得單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x-1）²-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（x-1）-$\frac{a}{x}$，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=-a，
由切線與直線x+2y-1=0垂直，可得-a=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（x-1）-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x-a}{x}$，
令z=2x²-2x-a，若△≤0，即有4+8a≤0，解得a≤-$\frac{1}{2}$，
則f（x）在（0，+∞）遞增；
若△＞0，即a＞-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a=0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞1；
當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$＞0，$\frac{1-\sqrt{1+2a}}{2}$＜0，
由f′（x）＞0可得x＞$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$＞0，$\frac{1-\sqrt{1+2a}}{2}$＞0，
由f′（x）＞0可得$\frac{1-\sqrt{1+2a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$．
綜上可得，當(dāng)a≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$，+∞）；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1-\sqrt{1+2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1+2a}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查分類(lèi)討論的思想方法，屬于中檔題．