Question

7．已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}，滿足a₁=1，b₁=2，a₄=b₂，a₈=b₃．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立a₄=b₂、a₈=b₃，計算可知公差和公比，利用公式計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知${c_n}=\frac{n}{2^n}$，進(jìn)而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0），
∵a₁=1，b₁=2，a₄=b₂，a₈=b₃，
∴1+3d=2q，1+7d=2q²，
解得：d=1，q=2，
∴a_n=n，${b_n}={2^n}$；
（2）證明：∵a_n=n，${b_n}={2^n}$，
∴${c_n}=\frac{n}{2^n}$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
＜2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．