Question

12．如圖，△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2，將△BAO沿AO折起，使B點到達B′點．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面B′OC；
（Ⅱ）當三棱錐B′-AOC的體積最大時，試問在線段B′A上是否存在一點P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）翻折前，由三線合一可知OA⊥BC，故翻折后OA⊥OB′，OA⊥OC，于是AO⊥平面B′OC；
（II）當OB⊥平面AOC時，三棱錐B′-AOC的體積最大，此時可證OC⊥平面AOB′，故∠CPO為CP與平面B′OA所成的角，利用直角三角形知識解出OP，與O到線段AB′的距離的范圍比較即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB=AC，O是BC的中點，
∴AO⊥BO，AO⊥CO，即AO⊥B′O，
又CO∩B′O=O，B′O?平面B′OC，OC?平面B′OC，
∴AO⊥平面B′OC．
（Ⅱ）解：不存在．證明如下：
當面B′OA⊥面AOC時，三棱錐B′-AOC的體積最大．
∵面B′OA⊥面AOC，面B′OA∩面AOC=AO，OC⊥AO，OC?平面AOC，
∴CO⊥面B′OA，
∴∠CPO即為直線CP與平面B′OA所成的角，
在直角三角形CPO中，$CO=1，∠COP=\frac{π}{2}，sin∠CPO=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$CP=\frac{3}{{\sqrt{6}}}$，∴OP=$\sqrt{P{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△AOB′中，∠AOB′=90°，AB′=$\sqrt{O{A}^{2}+OB{′}^{2}}=\sqrt{5}$，設△AOB′的邊AB′上的高為h，
則h=$\frac{OA•OB}{AB′}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
因為OP＜h，所以滿足條件的點P不存在．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的做法與計算，屬于中檔題．