Question

2．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，n∈N^*
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n變形可知$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，進而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首項、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知${a_n}=\frac{n}{2^n}$，進而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首項、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，${a_n}=\frac{n}{2^n}$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+…+\frac{n}{2^n}$，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．