Question

設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)于正整數(shù))，求證：“且”是“這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；

(3)設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有，且集合中有且僅有3個(gè)元素，試求的取值范圍.

Answer 1

 解：(1)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，

又，，，；

(2)(ⅰ)必要性：設(shè)這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，

①若，則，，，

.                         ②若，則，，左邊為偶數(shù)，等式不成立，

③若，同理也不成立，

綜合①②③，得，所以必要性成立.                         

(ⅱ)充分性：設(shè)，，

則這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，所以充分性也成立.

綜合(ⅰ)(ⅱ)，原命題成立.

(3)因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/07/02/03/2015070203131675477069.files/image147.gif'>，

即，(*)

當(dāng)時(shí)，，(**)

則(**)式兩邊同乘以2，得，(***)

(*)－(***)，得，即，

又當(dāng)時(shí)，，即，適合，，，

時(shí)，，即；

時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

又，，，，.