Question

20．已知橢圓的焦距為4$\sqrt{3}$，橢圓上動點P與兩個焦點距離乘積的最大值為13，則該橢圓的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{13}+{y}^{2}$=1．

Answer 1

分析 不妨設橢圓的焦點在x軸上，設橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）.2c=4$\sqrt{3}$，由于|PF₁||PF₂|≤13，|PF₁|+|PF₂=2a≥2$\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，可得a²，b²=a²-c²，即可得出．

解答 解：不妨設橢圓的焦點在x軸上，設橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
2c=4$\sqrt{3}$，解得c=2$\sqrt{3}$．
|PF₁||PF₂|≤13，
|PF₁|+|PF₂=2a≥2$\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，可得a²=13，b²=a²-c²=1．
∴該橢圓的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{13}+{y}^{2}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{13}+{y}^{2}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．