Question

10．已知數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若數(shù)列{c_n}滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以（c_n，T_n）（n∈N^*）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線$ay=\frac{a}{2}{x^2}+\frac{a}{2}x+b，（a為非0常數(shù)）$上運(yùn)動(dòng)，則稱數(shù)列{c_n}為“拋物數(shù)列”．已知數(shù)列{b_n}為“拋物數(shù)列”，則（　�。�

• A． {b_n}一定為等比數(shù)列
• B． {b_n}一定為等差數(shù)列
• C． {b_n}只從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列
• D． {b_n}只從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列

Answer 1

分析 以（c_n，T_n）（n∈N^*）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線$ay=\frac{a}{2}{x^2}+\frac{a}{2}x+b，（a為非0常數(shù)）$上運(yùn)動(dòng)，可得T_n=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$．當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=T_n-T_n-1，化為：（c_n+c_n-1）（c_n-c_n-1-1）=0，由于數(shù)列{c_n}滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，可得c_n-c_n-1=1，即可得出．

解答 解：∵以（c_n，T_n）（n∈N^*）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線$ay=\frac{a}{2}{x^2}+\frac{a}{2}x+b，（a為非0常數(shù)）$上運(yùn)動(dòng)，
∴aT_n=$\frac{a}{2}$${c}_{n}^{2}$+$\frac{a}{2}$c_n+b，即T_n=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$．
當(dāng)n=1時(shí)，ac₁=$\frac{1}{2}a{c}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$ac₁+b，化為${c}_{1}^{2}$-c₁+$\frac{2b}{a}$=0，解得c₁=$\frac{1+\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$或c₁=$\frac{1-\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=T_n-T_n-1=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$-$[\frac{1}{2}{c}_{n-1}^{2}+\frac{1}{2}{c}_{n-1}+\frac{a}]$，化為：（c_n+c_n-1）（c_n-c_n-1-1）=0，
∵數(shù)列{c_n}滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，
∴c_n-c_n-1=1，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為c₁．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．