Question

5．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈（2，4）時，f（x）=|x-3|，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（　�。�

• A． 1
• B． 0
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得f（-x）=-f（x），f（-x+1）=f（x+1），結(jié)合x∈（2，4）時，f（x）=|x-3|，分別求出f（1），f（2），f（3），f（4）可得答案．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，
∴f（0）=0，f（-x）=-f（x），f（-x+1）=f（x+1），
∴f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[-（x+3）+1]=f（-x-2）=-f（x+2）
=-f[（x+1）+1]=-f[-（x+1）+1]=-f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，f（4）=f（0）=0，
∵當(dāng)x∈（2，4）時，f（x）=|x-3|，
∴f（3）=0，f（4）=0，
f（1）=-f（-1）=-f（3）=0，
f（2）=-f（-2）=-f（2）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
故選：B

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題目．