Question

17．已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓，離心率$e=\frac{1}{2}$，且橢圓過點$（1，\frac{3}{2}）$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）橢圓左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，則△F₁AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程，由題意列關(guān)于a，b，c的方程組求解a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁AB的內(nèi)切圓的徑R，則△F₁AB的周長=4a=8，${S}_{△{F}_{1}AB}$=$\frac{1}{2}$（|AB|+|F₁A|+|F₁B|）R=4R，因此${S}_{△{F}_{1}AB}$最大，R就最大．設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F₁AB的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$．
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=4，b²=3．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁AB的內(nèi)切圓的半徑R，
則△F₁AB的周長=4a=8，${S_△}_{{F_1}AB}=\frac{1}{2}$（|AB|+|F₁A|+|F₁B|）R=4R，
因此${S_△}_{{F_1}AB}$最大，R就最大，
由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
則${S_△}_{{F_1}AB}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|（{y_1}-{y_2}）$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令$\sqrt{{m}^{2}+1}=t$，則m²=t²-1，
∴${S_△}_{{F_1}AB}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}=\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
令f（t）=3t+$\frac{1}{t}$，則f′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，有f（t）≥f（1）=4，${S}_{△{F}_{1}AB}$≤3，
即當t=1，m=0時，${S}_{△{F}_{1}AB}$≤3，
由${S}_{△{F}_{1}AB}$=4R，得R_max=$\frac{3}{4}$，這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{9}{16}π$．
故直線l：x=1，△F₁AB內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{9}{16}π$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，分析得出${S}_{△{F}_{1}AB}$最大，R就最大是關(guān)鍵，是中檔題．