Question

6．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（0，-2），若直線AF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)A傾斜角為$\frac{2π}{3}$的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F（c，0），運(yùn)用直線的斜率公式可得c，再由離心率公式可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得直線的方程，設(shè)出P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到所求三角形的面積．

解答 解：（1）設(shè)F（c，0），由A（0，-2），直線AF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
可得$\frac{2}{c}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，得$c=\sqrt{3}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以a=2，b²=a²-c²，
故E的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）直線的斜率為：tan120°=$-\sqrt{3}$，所以直線方程為：$y=-\sqrt{3}x-2$，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}x-2\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.\end{array}$，
消y，化簡得：$13{x^2}+16\sqrt{3}x+12=0$，
可得${x_1}+{x_2}=-\frac{{16\sqrt{3}}}{13}，{x_1}•{x_2}=\frac{12}{13}$，
則$PQ=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{24}{13}$，
原點(diǎn)O到直線的距離：$d=\frac{|-2|}{{\sqrt{1+3}}}=1$，
所以：${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}d•|PQ|=\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和斜率公式，考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．