Question

14．已知在正三陵拄A₁B₁C₁-ABC（側棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，D、E分別是棱BC、CC₁的中點，AB=AA₁=2．
（1）證明：BE⊥AB₁；
（2）求二面角B-AB₁-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據線面垂直的性質定理即可證明BE⊥AB₁；
（2）根據二面角的平面角的定義作出二面角的平面角，結合三角形的邊角關系即可求二面角B-AB₁-D的大�。�

解答 （1）證明：∵在正三陵拄A₁B₁C₁-ABC（側棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，D、E分別是棱BC、CC₁的中點，
∴AD⊥BC，AD⊥面BCC₁B₁，
則AD⊥BE，
∵AB=AA₁=2，
∴△B₁BD≌△BCE，
則BE⊥B₁D，
∵AD∩B₁D=D，
∴BE⊥面ADB₁，
∵AB₁?面ADB₁，
∴BE⊥AB₁；
（2）設BE∩B₁D=O，
由（1）得BE⊥面ADB₁，
取AB₁的中點F，連接BF，
∵側面為正方形，
∴BF⊥AB₁，連接OF，
則OF⊥AB₁，
即∠OFB是二面角B-AB₁-D的平面角，
∵AB=AA₁=2．
∴BF=$\sqrt{2}$，BD=1，
DB₁=$\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
則OB=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}=\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則sin∠OFB=$\frac{OB}{BF}$=$\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即∠OFB=arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$
即二面角B-AB₁-D的大小為arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題主要考查空間直線和直線垂直的證明以及二面角的求解，根據線面垂直的性質定理，以及二面角的平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關鍵．