Question

17．將邊長為2正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個判斷：
①AC⊥BD
②AB與平面BCD所成60°角      
③△ABC是等邊三角形
④若A、B、C、D四點在同一個球面上，則該球的表面積為8π
其中正確判斷的序號是①③④．

Answer 1

分析 ①取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)可判斷，
②求出AB與平面BCD所成的角可判斷
③求出三角形ABC各邊的長度進行比較即可判斷，
④根據(jù)EA=EB=EC=ED=$\sqrt{2}$得到球的半徑，進行判斷即可．

解答 解：①取BD中點E，連結(jié)AE，CE，則AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正確．
②∠ABD為AB與面BCD所成的角為45°，故②錯誤．
③∵折疊前正方形的邊長為2，∴BD=2$\sqrt{2}$，∴AE=CE=$\sqrt{2}$．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2．
∴△ABC是等邊三角形，故③正確．
④∵折疊前正方形的邊長為2，則BD=2$\sqrt{2}$，
∴EA=EB=EC=ED=$\sqrt{2}$．
若A、B、C、D四點在同一個球面上，
則球的半徑r=$\sqrt{2}$，
則該球的表面積S=4π•（$\sqrt{2}$）²=8π，故④正確，
故答案為：①③④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度不大．