Question

6．設(shè)O為△ABC的外心，且滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC．}$則∠ACB=120°．

Answer 1

分析 如圖所示，取AB的中點D，連接OD，則OD⊥AB.$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$，由于$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC．}$可得$2\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$，進而得到四邊形OABC是菱形．再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，取AB的中點D，連接OD，則OD⊥AB．
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$，
∵滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC．}$
∴$2\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$，
∴O，D，C三點共線．
∴點D是OC的中點，
∴四邊形OABC是菱形．
在Rt△OAD中，cos∠DOA=$\frac{1}{2}$，可得∠DOA=60°，同理∠BOD=60°．
∴∠AOB=120°．
因此∠ACB=120°．
故答案為：120°．

點評 本題考查了三角形的外心的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、菱形的性質(zhì)、向量的平行四邊形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．