Question

8．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦點(diǎn)，A為下頂點(diǎn)，連接AF₂并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，則BF₁長(zhǎng)為$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及A的坐標(biāo)，求得AF₂的方程為y=x-1，代入橢圓方程，解得B的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
即有F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），A（0，-1），
AF₂的方程為y=x-1，
代入橢圓方程x²+2y²=2，
可得3x²-4x=0，
解得x=0或$\frac{4}{3}$，
即有B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
則|BF₁|=$\sqrt{（\frac{4}{3}+1）^{2}+\frac{1}{9}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．