Question

12．過(guò)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)F₂的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，則點(diǎn)A與左焦點(diǎn)F₁的距離|AF₁|=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得F₂為AB的中點(diǎn)，即有AB⊥x軸，令x=1，可得|AF₂|，再由橢圓的定義，即可得到所求值．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
右焦點(diǎn)F₂為（1，0），
由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得F₂為AB的中點(diǎn)，
即有AB⊥x軸，令x=1，可得y=±$\sqrt{3}$•$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=±$\frac{3}{2}$，
由橢圓的定義可得，|AF₁|+|AF₂|=2a=4，
可得|AF₁|=4-|AF₂|=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．