Question

20．已知△ABC與△DBC都是邊長為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$的等邊三角形，且平面ABC⊥平面DBC，過點(diǎn)A作PA⊥平面ABC，且AP=2．
（1）求直線PD與平面ABC所成角的大��；
（2）求二面角P-AD-C的余弦值；
（3）在線段PC上是否存在點(diǎn)E，使BE⊥平面ACD，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知直線PD與平面ABC所成角就是直線PD與直線OA所成的角，過D作DM∥OA交PA于M，易知DO∥PA，從而求出∠PDM，即為所求；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解．
（3）求出向量$\overrightarrow{BE}$，利用向量法進(jìn)行求解證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，

∴DP在平面ABC的射影是OA，即直線PD與平面ABC所成角就是直線PD與直線OA所成的角，
過D作DM∥OA交PA于M，易知DO∥PA，
∴DM=OA=1，DO=MA=1⇒PM=1
∴$cos∠PDM=\frac{DM}{PD}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
即∠PDM=45°
（Ⅱ）∵平面ABC⊥平面DBC，△ABC與△DBC都是正三角形，
∴DO⊥BC，DO⊥平面ABC，
建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OA，OD分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則DO=1，AO=1，MO=1OB=OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則B（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），A（0，1，0），D（0，0，1），P（0，1，2），
則$\overrightarrow{AD}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，0），
則平面PAD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面ADC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，則y=-1，z=-1，即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，-1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{3+1+1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角P-AD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
（3）$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，2），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，0，0），
設(shè)$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$λ，λ，2λ），
則$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$λ，λ，2λ），
若BE⊥平面ACD，則$\overrightarrow{BE}$∥$\overrightarrow{n}$，
即$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}λ}{\sqrt{3}}$=$\frac{λ}{-1}$=$\frac{2λ}{-1}$，
此時(shí)λ無解，即在線段PC上不存在點(diǎn)E，使BE⊥平面ACD．

點(diǎn)評 本小題主要考查線面垂直判斷，線面角和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．