Question

4．如圖，已知點A（-1，0）是拋物線的準線與x軸的交點，M，N兩點在拋物線上且直線MN過A點，過M點及B（1，-1）的直線交拋物線于Q點．
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：直線QN過一定點，并求出該點坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意，拋物線的準線方程為x=-1，即可求出拋物線的方程；
（2）設AM的方程為y=k（x+1），代入拋物線的方程，可得ky²-4y+4k=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），則y₁y₂=4，直線MB的方程為y+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x-1），可得y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0，直線QN的方程為y-y₂=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{3}}$（x-x₂），可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，即可得出直線QN過定點．

解答 （1）解：由題意，拋物線的準線方程為x=-1，
∴拋物線的方程為y²=4x；
（2）證明：設AM的方程為y=k（x+1），代入拋物線的方程，可得ky²-4y+4k=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），則y₁y₂=4，
由k_MQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{3}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$，
直線MB的方程為y+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x-1），
∴y₁+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x₁-1），
可得y₁=-$\frac{4+{y}_{3}}{1+{y}_{3}}$，
∴$\frac{4}{{y}_{2}}$=-$\frac{4+{y}_{3}}{1+{y}_{3}}$，
∴y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0
直線QN的方程為y-y₂=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{3}}$（x-x₂）
可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，
∴x=1，y=-4，
∴直線QN過定點（1，-4）．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查直線過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．