Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x-$\frac{3}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且b+c=$\sqrt{3}$+1，a=1．若f（A）=$\frac{3}{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期T，由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由f（A）=$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由0＜A＜π，可得$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，解得A=$\frac{π}{6}$，由余弦定理可得bc的值，利用三角形面積公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x-$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（2）∵f（A）=$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，
∴解得：2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，可得：A=$\frac{π}{6}$．
又∵b+c=$\sqrt{3}$+1，a=1．
∴由余弦定理可得：1=$^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}bc$=（b+c）²-bc（2+$\sqrt{3}$）=4+2$\sqrt{3}$-bc（2+$\sqrt{3}$），
∴解得：bc=$\frac{3+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×$$\frac{3+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．