Question

2．a(chǎn)_n+1=3a_n+2ⁿ⁺³，a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+3}}$+2=$\frac{3}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+2}}$+2），從而數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+3}}$+2}是首項(xiàng)為$\frac{{a}_{1}}{{2}^{3}}$+2=$\frac{17}{8}$，公比為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺³，a₁=1，
兩端同除以2ⁿ⁺³得，$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+3}}=\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+1}}+1$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+3}}$+2=$\frac{3}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+2}}$+2），
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+3}}$+2}是首項(xiàng)為$\frac{{a}_{1}}{{2}^{3}}$+2=$\frac{17}{8}$，公比為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+2}}$+2=$\frac{17}{8}$×（$\frac{3}{2}$）^n-1，
∴a_n=17×3^n-1-2ⁿ⁺³．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．