20.設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f(x)=-sin2x-2acosx-2a的最小值為g(a).
(I)求g(a)的解析式:
(Ⅱ)確定能使用g(a)=-$\frac{1}{2}$的a的值,并對此時的a求f(x)的最大值.

分析 (I)令cosx=t,則,f(x)=h(t)=t2-2at-2a-1,則t∈[-1,1].根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系判斷h(t)的單調(diào)性求出最小值;
(II)令g(a)=-$\frac{1}{2}$,求出符合條件的a,根據(jù)(I)中的單調(diào)性結(jié)論求出h(t)的最大值即f(x)的最大值.

解答 解:(I)f(x)=cos2x-2acosx-2a-1,令cosx=t,f(x)=h(t)=t2-2at-2a-1,則t∈[-1,1].
①若a≤-1,則h(t)在[-1,1]上是增函數(shù),∴g(a)=h(-1)=0,
②若a≥1,則h(t)在[-1,1]上是減函數(shù),∴g(a)=h(1)=-4a,
③若-1<a<1,則h(t)在[-1,a]上是減函數(shù),在(a,1]上是增函數(shù),∴g(a)=h(a)=-a2-2a-1.
綜上,g(a)=$\left\{\begin{array}{l}{0,a≤-1}\\{-{a}^{2}-2a-1,-1<a<1}\\{-4a,a≥1}\end{array}\right.$.
(II)令g(a)=-$\frac{1}{2}$,
當-1<a<1時.-a2-2a-1=-$\frac{1}{2}$,解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$.
此時h(t)在[-1,$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$]上是減函數(shù),在($\frac{\sqrt{2}}{2}-1$,1]上是增函數(shù),
∴fmax(x)=hmax(t)=h(1)=4-2$\sqrt{2}$.
當a≥1時,-4a=-$\frac{1}{2}$,解得a=$\frac{1}{8}$(舍去).
綜上,a=$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$,此時f(x)的最大值為4-2$\sqrt{2}$.

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,二次函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于中檔題.

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