Question

20．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=-sin²x-2acosx-2a的最小值為g（a）．
（I）求g（a）的解析式：
（Ⅱ）確定能使用g（a）=-$\frac{1}{2}$的a的值，并對此時的a求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （I）令cosx=t，則，f（x）=h（t）=t²-2at-2a-1，則t∈[-1，1]．根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系判斷h（t）的單調(diào)性求出最小值；
（II）令g（a）=-$\frac{1}{2}$，求出符合條件的a，根據(jù)（I）中的單調(diào)性結(jié)論求出h（t）的最大值即f（x）的最大值．

解答 解：（I）f（x）=cos²x-2acosx-2a-1，令cosx=t，f（x）=h（t）=t²-2at-2a-1，則t∈[-1，1]．
①若a≤-1，則h（t）在[-1，1]上是增函數(shù)，∴g（a）=h（-1）=0，
②若a≥1，則h（t）在[-1，1]上是減函數(shù)，∴g（a）=h（1）=-4a，
③若-1＜a＜1，則h（t）在[-1，a]上是減函數(shù)，在（a，1]上是增函數(shù)，∴g（a）=h（a）=-a²-2a-1．
綜上，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，a≤-1}\\{-{a}^{2}-2a-1，-1＜a＜1}\\{-4a，a≥1}\end{array}\right.$．
（II）令g（a）=-$\frac{1}{2}$，
當-1＜a＜1時．-a²-2a-1=-$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$．
此時h（t）在[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$]上是減函數(shù)，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，1]上是增函數(shù)，
∴f_max（x）=h_max（t）=h（1）=4-2$\sqrt{2}$．
當a≥1時，-4a=-$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{1}{8}$（舍去）．
綜上，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，此時f（x）的最大值為4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．