Question

5．在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=9$\sqrt{2}$，AB=8，AC=6．頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為H，若$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$且μ+2λ=1，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為$\frac{243}{2}$π．

Answer 1

分析 確定球心在PH上，由$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$且μ+2λ=1，運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，計(jì)算即可得到半徑R，再由球的體積公式計(jì)算即可得到．

解答 解：由于三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)H，
O為球心，OA=OB=OC=OP=R，
∵$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$
∴$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AB}$²+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=$λ\overrightarrow{AB}$²+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
即32=64λ+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，①
同理對(duì)①兩邊取點(diǎn)乘$\overrightarrow{AC}$，可得
18=36μ+λ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，②
又μ+2λ=1③
由①②③解得，λ=$\frac{9}{20}$（$\frac{1}{2}$舍去），μ=$\frac{1}{10}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=32，
∴AH²=$\frac{9}{20}$×32+$\frac{1}{10}$×18=$\frac{81}{5}$，
∵PA=PB=PC=9$\sqrt{2}$
∴HP²=81×2-$\frac{81}{5}$=$\frac{81×9}{5}$
又在直角三角形AOH中，
R²=（HP-R）²+AH²，解得R=$\frac{9}{2}$，
則有球O的體積V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π•$\frac{729}{8}$=$\frac{243}{2}$π．
故答案為：$\frac{243}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積的求法，關(guān)鍵是求得球的半徑，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，通過兩邊取點(diǎn)乘和兩邊平方法，是解題的重點(diǎn)，具有一定的運(yùn)算量，屬于難題．