Question

17．如圖，已知半圓O：x²+y²=1（y≥0）及點A（2，0），B為半圓周上任意一點，以AB為一邊作等邊△ABM．設∠AOB=θ，其中0＜θ＜π．
（Ⅰ）將邊AB表示為θ的函數(shù)；
（Ⅱ）求四邊形OAMB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用余弦定理求得AB的值．
（Ⅱ）四邊形OAMB的面積S=S_△OAB+S_△MAB，利用三角恒等變換化為2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．再根據(jù)0＜θ＜π，利用正弦函數(shù)的值域求得四邊形OAMB的面積最大值．

解答 （Ⅰ）解：在△AOB中，由余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cosθ=5-4cosθ，
∴AB=$\sqrt{5-4cosθ}$．
（Ⅱ）解：四邊形OAMB的面積 S_△OAB+S_△MAB=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinθ+$\frac{1}{2}$•AB²•sin$\frac{π}{3}$ 
=$\frac{1}{2}$•2•sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
又 0＜θ＜π，則當θ=$\frac{5π}{6}$時，四邊形OAMB的面積最大值 2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查余弦定理、三角恒等變換、正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．