Question

2．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，4），一直線過(guò)點(diǎn)P與雙曲線相交于P₁，P₂兩點(diǎn)，弦P₁P₂被點(diǎn)P平分，則直線P₁P₂的方程為x-y+3=0．

Answer 1

分析 利用平方差法：設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），代入雙曲線方程然后作差，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式可求得直線l的斜率，再用點(diǎn)斜式即可求得直線方程．

解答 解：設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=8，
代入雙曲線方程，兩式相減得$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）-$\frac{1}{16}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）-$\frac{1}{2}$（y₁-y₂）=0
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
故所求直線方程為y-4=x-1，即x-y+3=0．
故答案為：x-y+3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查直線方程的求法，涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題，往往考慮利用“平方差法”加以解決．