Question

10．如圖，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上的點，BD=DC=1，⊙O在點B處的切線交AD的延長線于點E．
（Ⅰ）求證：∠EBD=∠CAD；
（Ⅱ）若AD為⊙O的直徑，求BE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用弦切角定理和圓周角定理能證明∠EBD=∠CAD．
（Ⅱ）連結OB，則OB⊥BE，由OB=OD=BD=1，能求出BE．

解答 證明：（Ⅰ）∵BE是⊙O的切線，∴∠EBD=∠BAD，
∵BD=DC，∴$\widehat{BD}=\widehat{DC}$，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CAD．
解：（Ⅱ）若AD為⊙O的直徑，如圖，連結OB，
則OB⊥BE，
由OB=OD=BD=1，得∠BOE=60°，
在Rt△OBE中，∵tan∠BOE=$\frac{BE}{OB}$，
∴BE=tan60°=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓的性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、考查化歸與轉化思想．