Question

2．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面ACC₁A₁是正方形，點O是側(cè)面ACC₁A₁的中心，∠ACB=$\frac{π}{2}$，M是棱BC的中點．
（1）求證：OM∥平面ABB₁A₁；
（2）求證：平面ABC₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析 （1）推導出OM∥A₁B，由此能證明OM∥平面ABB₁A₁．
（2）推導出CC₁⊥BC，BC⊥AC，從而BC⊥面ACC₁A₁，進而BC⊥AC₁，再由A₁C⊥AC₁，得到AC₁⊥面A₁BC，由此能證明面ABC₁⊥面A₁BC．

解答 證明：（1）在△A₁BC中，因為O是A₁C的中點，M是BC的中點，
所以O(shè)M∥A₁B，…（4分）
又OM?平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，
所以O(shè)M∥平面ABB₁A₁．…（6分）
（2）因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥底面ABC，所以CC₁⊥BC，
又∠ACB=$\frac{π}{2}$，即BC⊥AC，而CC₁，AC?面ACC₁A₁，且CC₁∩AC=C，
所以BC⊥面ACC₁A₁，…（8分）
而AC₁?面ACC₁A₁，所以BC⊥AC₁，
又ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁，而BC，A₁C?面A₁BC，且BC∩A₁C=C，
所以AC₁⊥面A₁BC，…（12分）
又AC₁?面ABC₁，所以面ABC₁⊥面A₁BC．…（14分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．