Question

1．已知值域?yàn)閇-1，+∞）的二次函數(shù)滿足f（-1+x）=f（-1-x），且方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂滿足|x₁-x₂|=2．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間[-1，2]內(nèi)的最大值為f（2），最小值為f（-1），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得二次項(xiàng)系數(shù)，從而求出f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)g（x）的單調(diào)性判斷出函數(shù)的對(duì)稱軸，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（-1+x）=f（-1-x），可得f（x）的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱，
∴設(shè)f（x）=a（x+1）²+h=ax²+2ax+a+h，
∵函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，+∞），可得h=-1，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-2，x₁ x₂=1+$\frac{h}{a}$，
∴x₁-x₂=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{-\frac{4h}{a}}$=2，解得：a=-h=1，
∴f（x）=x²+2x；
（2）由題意得函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，2]遞增，
又g（x）=f（x）-kx=x²-（k-2）x=${（x-\frac{k-2}{2}）}^{2}$-$\frac{{（k-2）}^{2}}{4}$，
∴$\frac{k-2}{2}$≤-1，即k≤0，
綜上：k≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，考察函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．