Question

13．已知復(fù)數(shù)z=（m-1）+（m²+2m-3）i，m≥0，
（Ⅰ）若z是純虛數(shù)，求m的值；
（Ⅱ）若z+$\overline{z}$=2，求z；
（ III）在復(fù)平面中，設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為P，當(dāng)m變化時，求動點P的軌跡的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若z是純虛數(shù)，則實部等于0且虛部不等于0，求解可得m的值；
（Ⅱ）由z+$\overline{z}$=2，可求出m的值，即可得到復(fù)數(shù)z；
（Ⅲ）根據(jù)題意，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y={m}^{2}+2m-3}\end{array}\right.$，消去m得點P的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）若z是純虛數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{{m}^{2}+2m-3≠0}\end{array}\right.$，解得m=1；
（Ⅱ）z+$\overline{z}$=2（m-1）=2，
∴m=2，
∴z=1+5i；  
（Ⅲ）根據(jù)題意，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y={m}^{2}+2m-3}\end{array}\right.$，
消去m得點P的軌跡方程為y=x²+4x．
又∵m≥0，∴x≥-1．
點P的軌跡方程為y=x²+4x（x≥-1）．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．