Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對任意正整數(shù)n，都有a_n=$\frac{3}{4}{S_n}$+2．
（1）設(shè)b_n=log₂a_n，求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，設(shè)c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n+1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：$\frac{1}{21}$≤T_n≤$\frac{2}{15}$．

Answer 1

分析 （1）通過對${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$變形可知${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-2）$，并令n=1可知a₁=8，當(dāng)n≥2時(shí)，利用${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-2）$與${S_{n+1}}=\frac{4}{3}（{a_{n+1}}-2）$作差、整理可知a_n+1=4a_n，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論可求出T_n，通過分別判斷出各自的單調(diào)性，整理即得結(jié)論．

解答 證明：（1）由${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$，得${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-2）$，
當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}=\frac{4}{3}（{a_1}-2）$，解得a₁=8．
由${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-2）$，①
得${S_{n+1}}=\frac{4}{3}（{a_{n+1}}-2）$，②
②-①得，${a_{n+1}}=\frac{4}{3}{a_{n+1}}-\frac{4}{3}{a_n}$，即a_n+1=4a_n，
所以{a_n}為首項(xiàng)為8、公比為4的等比數(shù)列，
所以${a_n}=8×{4^{n-1}}={2^{2n+1}}$，
所以${b_n}={log_2}{2^{2n+1}}=2n+1$，b_n+1-b_n=2，
所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）由（1）可知${c_n}={（-1）^{n+1}}\frac{n+1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}={（-1）^{n+1}}×\frac{1}{4}×\frac{4（n+1）}{（2n+1）（2n+3）}={（-1）^{n+1}}×\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${T_n}=\frac{1}{4}[（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}+\frac{1}{9}）-（\frac{1}{9}+\frac{1}{11}）+$…$-（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${T_n}=\frac{1}{4}[（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}+\frac{1}{9}）-（\frac{1}{9}+\frac{1}{11}）+$…$+（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}）$；
又∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${T_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$，函數(shù)$f（n）=\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$單調(diào)遞增，${T_2}≤{T_n}＜\frac{1}{12}$，即$\frac{1}{21}≤{T_n}＜\frac{1}{12}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${T_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}）$，函數(shù)$g（n）=\frac{1}{4}（\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}）$單調(diào)遞減，$\frac{1}{12}＜{T_n}≤{T_1}=\frac{2}{15}$．
∴$\frac{1}{21}≤{T_n}≤\frac{2}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，考查并項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．