Question

9．下列說法中
①命題“每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”是全稱命題，而且是真命題；
②若m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交；
③設(shè)定點(diǎn)F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞0），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；
④若實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9-k}$=1與曲線$\frac{{x}^{2}}{25-k}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦點(diǎn)．
其中正確的為①④．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷①；由直線與平面位置關(guān)系的幾何特征，可判斷②；根據(jù)橢圓的定義，可判斷③；根據(jù)雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，可判斷④．

解答 解：①命題“每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”可化為：“?函數(shù)f（x）=a^x，（a＞0，且a≠1），f（x）為單調(diào)函數(shù)”，是全稱命題，而且是真命題，故正確；
②若m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交，或n與α平行，故錯(cuò)誤；
③設(shè)定點(diǎn)F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞3），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，故錯(cuò)誤；
④若實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9-k}$=1與曲線$\frac{{x}^{2}}{25-k}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)均為（±$\sqrt{34-k}$，0），故正確；
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直線與平面位置關(guān)系，圓錐曲線的定義和性質(zhì)，難度中檔．