Question

18．已知三棱錐A-BCD中，AB=CD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，求直線AB和MN所成的角．

Answer 1

分析 取AC的中點P，連結PM、PN，則∠MPN為AB與CD所成的角（或所成的角的補角），∠PMN是AB與MN所成的角（或所成角的補角），由此能求出直線AB與MN所成的角．

解答 解：如圖，取AC的中點P，連結PM、PN，
則PM∥AB，且PM=$\frac{1}{2}AB$，PN∥CD，且PN=$\frac{1}{2}CD$，
∴∠MPN為AB與CD所成的角（或所成的角的補角），
∴∠MPN=60°或∠MPN=120°，
若∠MPN=60°，∵PM∥AB，∴∠PMN是AB與MN所成的角（或所成角的補角），
又∵AB=CD，∴PM=PN《
∴△PMN是等邊三角形，∴∠PMN=60°，
∴AB與MN所成的角為60°；
若∠MPN=120°，則△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=30°，
∴AB與MN所成的角為30°，
∴直線AB與MN所成的角為60°或30°．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．