Question

17．等差數(shù)列{a_n}的首項a₁＞0，設(shè)其前n項和為S_n，且S₅=S₁₂，則當(dāng)n為何值時，S_n有最大值？

Answer 1

分析 由已知得$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=12{a}_{1}+\frac{12×11}{2}d$，從而得到a₁=-8d，由此利用等差數(shù)列的通項公式能求出當(dāng)n為何值時，S_n有最大值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的首項a₁＞0，設(shè)其前n項和為S_n，且S₅=S₁₂，
∴$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=12{a}_{1}+\frac{12×11}{2}d$，
解得a₁=-8d，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$
=-8nd+$\frac{{n}^{2}}{2}d-\frac{n}{2}d$
=$\frac1xgz40n{2}{n}^{2}-\frac{17d}{2}n$
=$\fracv4xpfk4{2}（{n}^{2}-17n）$
=$\fracfy4zrnq{2}（n-\frac{17}{2}）^{2}$-$\frac{289d}{8}$，
∴當(dāng)n=8或n=9時，S_n有最大值．

點評 本題考查當(dāng)n為何值時，S_n有最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和配方法的合理運用．