Question

6．設S_n是正項數列{a_n}的前n項和，且S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n-1（n∈N^*）
（1）設數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=2ⁿ，設c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得{a_n}是以1為公差的等差數列，從而可求{a_n}的通項公式
（2）利用錯位相減法，即可求數列{b_n}的前n項的和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+a_n）-1，S_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+a_n+1）-1，
∴兩式相減可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵數列{a_n}各項均正，
∴a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是以1為公差的等差數列，
∵S₁=$\frac{1}{2}$（a₁²+a₁）-1=a₁，
即a₁²-a₁-2=0，
解得a₁=2
∴a_n=2+n-1=n+1；
（2）∵b_n=2ⁿ，
∴c_n=a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，
T_n=2•2¹+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=2•2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=4+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+2ⁿ⁺¹-4-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
則T_n=n•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．