Question

20．正三棱錐A-BCD的底面△BCD的邊長為$2\sqrt{2}，M$是AD的中點，且BM⊥AC，則該棱錐外接球的表面積為12π．

Answer 1

分析 由正三棱錐的定義，可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM為相交兩直線，運用線面垂直的判定和性質定理，可得AB，AC，AD兩兩垂直，再由正三棱錐A-BCD補成以AB，AC，AD為棱的正方體，則外接球的直徑為正方體的對角線，再由表面積公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由正三棱錐A-BCD的定義，可得A在底面上的射影為底面的中心，
由線面垂直的性質可得AC⊥BD，
又AC⊥BM，且BD，BM為相交兩直線，
可得AC⊥平面ABD，即有AC⊥AB，AC⊥AD，
可得△ABC，△ACD為等腰直角三角形，
故AB=AC=AD=2，
將正三棱錐A-BCD補成以AB，AC，AD為棱的正方體，
則外接球的直徑為正方體的對角線，
即有2R=2$\sqrt{3}$，可得R=$\sqrt{3}$，
由球的表面積公式可得S=4πR²=12π．
故答案為：12π．

點評 本題考查正三棱錐的外接球的表面積的求法，注意運用線面垂直的判定和性質定理的運用，以及球與正三棱錐的關系，考查運算能力，屬于中檔題．