Question

11．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項和為S_n，在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}中，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$，
（Ⅰ）求{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$，且數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．證明：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）分別利用等差數(shù)列的求和公式及等比數(shù)列的通項公式表示已知條件，然后解方程可求等比數(shù)列的公比q，等差數(shù)列的公差d，即可求解；
（II）根據(jù)（1）中數(shù)列{a_n}的通項公式，運用等差數(shù)列的求和公式可得c_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂項相消求和可得T_n．再由數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{q+{a}_{1}+{a}_{2}=12}\\{q=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{q}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{q+6+d=12}\\{{q}^{2}=6+d}\end{array}\right.$，
解得d=q=3，
∴a_n=3+（n-1）•3=3n，b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（Ⅱ）證明：c_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{3}{2•\frac{1}{2}n（3+3n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n項和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{1-$\frac{1}{n+1}$}遞增，即有n=1時取得最小值$\frac{1}{2}$，
則有$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

點評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，考查裂項相消求和的方法，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．