Question

16．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2ⁿ．
（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$n（n+1）；
（2）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為2ⁿ⁺¹-2；
（3）設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和；
（4）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和；
（5）設(shè)c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}•a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的求和公式，即可得到；（2）由等比數(shù)列的求和公式即可得到；
（3）運(yùn)用分組求和的方法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可得到；
（4）由錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到；
（5）由c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和即可得到．

解答 解：（1）a_n=n，由等差數(shù)列的求和公式可得，
數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$n（n+1）；
（2）b_n=2ⁿ．由等比數(shù)列的求和公式可得，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2；
（3）c_n=a_n+b_n=n+2ⁿ，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$n（n+1）+2ⁿ⁺¹-2；
（4）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
即有前n項(xiàng)和T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得，前n項(xiàng)和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2；
（5）c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$n（n+1），2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和、裂項(xiàng)相消求和和錯(cuò)位相減法求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．