Question

12．已知f（x）=1g（1+2^x+3^x+…+（n-1）^x+n^x•a），若f（x）在x∈（-∞，1]有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa＞0得到知a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x恒成立，構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值．

解答 解：由1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa＞0
知a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x恒成立，
又∵y_i=（$\frac{i}{n}$）^x，i=1，2…n-1，是減函數(shù)，
∴y=（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x也是減函數(shù)，
∴在區(qū)間（-∞，1]上有y_min=$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{n-1}{2}$＞a，
∴a的取值范圍是（-∞，$\frac{n-1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求最值，屬于中檔題．