Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足a=2$\sqrt{2}$，A=45°，cosB=$\frac{1}{2}$．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函數基本關系式可求sinB，由正弦定理可求得b的值．
（2）利用兩角和的正弦函數公式可求sinC，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）∵在△ABC中，cosB=$\frac{1}{2}$．
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵a=2$\sqrt{2}$，A=45°，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{3}$．
（2）∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=3+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角和的正弦函數公式，正弦定理，三角形面積公式的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．