Question

10．如圖，已知三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱長都是2，且∠A′AB=∠A′AC=60°．
（1）求證：點A′在底面ABC內的射影在∠BAC的平分線上；
（2）求棱柱ABC-A′B′C′的體積．

Answer 1

分析 （1）設A′在底面ABC上的射影為O，連接A′O，過A′分別作A′D⊥AB于D，A′E⊥AC于E，連接OD，OA，OE．通過證明AC⊥平面A′OE得出AC⊥OE，同理得出OD⊥AB，利用三角形全等得出OD=OE，結論得證；
（2）利用勾股定理計算A′O，代入棱柱的體積公式計算．

解答 證明：（1）設A′在底面ABC上的射影為O，連接A′O，過A′分別作A′D⊥AB于D，A′E⊥AC于E，連接OD，OA，OE．
∵∠A′AB=A′AC=60°，∠A′DA=∠A′EA=90°，AA′=2，
∴AD=AE=1，A′D=A′E=$\sqrt{3}$．
∵A′O⊥平面ABC，OD?平面ABC，OE?平面ABC，
∴A′O⊥OD，A′O⊥OE，又A′O為公共邊，
∴△A′OD≌△A′OE，∴OD=OE．
又∵AC⊥A′E，AC⊥A′O，A′O∩A′E=A′，
∴AC⊥平面A′OE，∵OE?平面A′OE，
∴AC⊥OE．
同理可得OD⊥AB．
∴O到AB，AC的距離相等．
∴O在∠BAC的角平分線上．
（2）由（1）知AD=1，∠OAD=30°，OD⊥AB，
∴OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴A′O=$\sqrt{AA{′}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴V_{ABC-A′B′C′}=S_△ABC•A′O=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了棱柱的結構特征，線面垂直的判定，棱柱的體積計算，屬于中檔題．