Question

3．在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，則b+c的取值范圍是（3，2$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由內(nèi)角和定理，可得B+C=120°，由正弦定理，可得b+c=2（sinB+sinC），運(yùn)用兩角和差的正弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．

解答 解：由題意，B+C=120°，
由正弦定理可得2R=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
即有b=2sinB，c=2sinC，
令B=60°+α，C=60°-α，（-30°＜α＜30°），
則b+c=2（sinB+sinC）
=2[sin（60°+α）+sin（60°-α）]
=4sin60°cosα=2$\sqrt{3}$cosα，
由-30°＜α＜30°，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosα≤1，
即有b+c的范圍為（3，2$\sqrt{3}$]．
故答案為：（3，2$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．．