Question

17．在扇形AOB中，OA⊥OB，以O(shè)A，OB為直徑的半圓交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在如圖所示圖形的陰影區(qū)域中（含邊界），若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），則2x+y的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• C． [1，$\sqrt{5}$]
• D． [$\sqrt{5}$，2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由向量相等得到P的坐標(biāo)，寫出P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，由線性規(guī)劃知識(shí)求得答案．

解答 解：以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則可設(shè)A（1，0），B（0，1），
∴$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（x，0）+（0，y）=（x，y），
則x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}≥\frac{1}{4}}\\{{x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}≥\frac{1}{4}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤1}\end{array}\right.$，
作出可行域如圖，
令z=2x+y，由$\frac{|-z|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=1$，的z=$±\sqrt{5}$，
∵x≥0，y≥0，∴$z=\sqrt{5}$；
化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z，
由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過點(diǎn)B（0，1）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．