Question

1．將函數(shù)y=msinx（其中m≠0）的圖象上的所有點(diǎn)向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到了函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）寫出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱中心；
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2，試求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由調(diào)件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答 解：（1）把函數(shù)y=msinx（其中m≠0）的圖象上的所有點(diǎn)向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，
可得y=msin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)保持不變，
得到了函數(shù)y=f（x）=msin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，故f（x）=msin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，可得它的圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
函數(shù)f（x）=msin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值為|m|=2，∴m=±2．
若m=2，函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最小值為f（-$\frac{π}{6}$）=2•（-$\frac{1}{2}$）=-1；
若m=-2，函數(shù)f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最小值為f（$\frac{π}{6}$）=-2•1=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性以及定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．