Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin（x-α）+2cosx，（其中α為常數(shù)），給出下列五個命題：
①存在α，使函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
②存在α，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最小值為-3；
④若函數(shù)f（x）的最大值為h（α），則h（α）的最大值為3；
⑤當(dāng)α=$\frac{π}{6}$時，（-$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)f（x）的一個對稱中心．
其中正確的命題序號為①④⑤（把所有正確命題的選號都填上）

Answer 1

分析 推導(dǎo)出f（x）=5-4sinαsin（x+θ），對于①，當(dāng)α=kπ+π2（k∈Z），f（x）=cosx或3cosx，則為偶函數(shù)；對于②，f（x）不為奇函數(shù)；對于③，f（x）的最小值為-5-4sinα；對于④，f（x）的最大值為h（α）=5-4sinα，h（α）的最大值為3；對于⑤，（-$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)f（x）的一個對稱中心．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（x-α）+2cosx=sinxcosα+cosx（2-sinα）
=cos2α+（2-sinα）2sin（x+θ）（θ為輔助角）
=5-4sinαsin（x+θ）．
對于①，由f（x）=sinxcosα+cosx（2-sinα），當(dāng)α=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），cosα=0，sinα=±1，
f（x）=cosx或3cosx，則為偶函數(shù)．則①對；
對于②，由f（x）=sinxcosα+cosx（2-sinα），可得2-sinα∈[1，3]，即cosx的系數(shù)不可能為0，
則f（x）不為奇函數(shù)，則②錯；
對于③，f（x）的最小值為-5-4sinα，則③錯；
對于④，f（x）的最大值為h（α）=5-4sinα，當(dāng)sinα=-1時，h（α）的最大值為3，則④對；
對于⑤，當(dāng)α=$\frac{π}{6}$時，f（x）=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosx（2-sin$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=3sin（x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)x=-$\frac{π}{3}$，f（x）=3sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0，即有（-$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)f（x）的一個對稱中心，則⑤對．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．