Question

8．如圖，在△ABC中，∠C=90°，P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且S_△PAB=S_△PBC=S_△PCA，求證：|PA|²+|PB|²=5|PC|²．

Answer 1

分析 確定P是Rt△ABC的重心，利用三角形中線公式，可得PA²+PB²=5PC²，從而可得結(jié)論．

解答 證明：已知△ABC是直角三角形，AB為斜邊，記AB=c，BC=a，CA=b，則有c²=a²+b²．
∵S_△PAB=S_△PBC=S_△PCA，
∴P是Rt△ABC的重心．
設(shè)m_c，m_a，mb分別表示Rt△ABC的對(duì)應(yīng)邊AB，BC，CA上的中線，則有
PC=$\frac{2mc}{3}$，PA=$\frac{2ma}{3}$，PB=$\frac{2mb}{3}$．
而三角形中線公式為4（mc）²=2a²+2b²-c²=c²，
4（ma）²=2b²+2c²-a²，4（mb）²=2c²+2a²-b²．
∴4（ma）²+4（mb）²=5c²，
∴4（ma）²+4（mb）²=20（mc）²，
∴PA²+PB²=5PC²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查三角形中線公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．