Question

2．設(shè)f（x）的定義域為A={x∈R|x≠0}，對任意的x，y∈A，都有f（x•y）=f（x）+f（y），且當x＞1時f（x）＞0．
（1）求f（1）和f（-1），并證明：$f（\frac{x}{y}）=f（x）-f（y）$；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）證明：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法進行求解f（1）=0，f（-1）=0；       
（2）根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性即可；    
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷；

解答 解：（1）令x=2，y=1，則f（2）=f（2）+f（1），解得f（1）=0，
令x=-1，y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，則f（-1）=0，
∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（y）+f（$\frac{x}{y}$）=f（y•$\frac{x}{y}$）=f（x），
即f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（2）由題意知，對定義域內(nèi)的任意x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
且f（-1）=0，
令y=-1，代入上式，
∴f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（3）設(shè)x₂＞x₁＞0，則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）-f（{x_1}）$=$f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）-f（{x_1}）=f（\frac{x_2}{x_1}）$
∵x₂＞x₁＞0，∴$\frac{x_2}{x_1}＞1$，∴$f（\frac{x_2}{x_1}）$＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題的考點是抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，根據(jù)證明函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的方法，反復(fù)給x和y值利用給出恒等式，注意條件的利用；利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．