Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1-sin2x}{sinx-cosx}$
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值時x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），利用周期公式即可得解．
（2）通過正弦函數(shù)的最值，求出函數(shù)的最大值，以及函數(shù)取得最大值時的x的集合．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1-sin2x}{sinx-cosx}$=$\frac{（sinx-cosx）^{2}}{sinx-cosx}$=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∴當(dāng)x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z時，f（x）取得最大值$\sqrt{2}$，
∴f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，此時x的集合是：{x|x=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換及周期公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．